线性回归公式

线性回归是一种强大的统计工具，它帮助我们建立自变量（特征）与因变量（目标）之间的线性关联。根据涉及的自变量数量，线性回归可分为简单线性回归和多元线性回归。

让我们了解一下简单线性回归。在这种情境下，只有一个自变量和一个因变量。公式如下：

y = β0 + β1x + ε

在这里，y是我们要预测的目标变量，x是我们的特征变量。β0是截距，表示当x为0时模型的预测值。β1是斜率，反映了x对y的影响程度。ε是误差项，表示模型未能解释的随机噪声，通常假设它服从均值为0的正态分布。

当我们有多个自变量时，就进入了多元线性回归的领域。公式扩展为：

y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βpxp + ε

其中，x1，x2，…，xp是我们的多个特征变量。每个自变量都有对应的系数β1，β2，…，βp，表示各自对目标变量的影响程度。

为了进一步简化表示，我们还可以将数据转化为矩阵形式：

y = Xβ + ε

其中，y是因变量向量，X是自变量矩阵（包括截距项），β是系数向量，ε是误差向量。

接下来，我们通过最小二乘法进行参数估计，也就是求解系数β。我们的目标是找到一个β值，使得残差平方和（RSS）最小。公式如下：

β^ = (XT X)-1 XTy

其中，β^是估计的系数向量，XT是X的转置矩阵。这个公式假设X是列满秩的，也就是自变量之间不存在完美的多重共线性。

关于线性回归的关键假设，首先我们要相信自变量与因变量之间存在线性关系。误差项需要是独立的、具有相同的分布并且具有恒定的方差。我们要避免自变量之间的多重共线性问题。通常假设误差服从正态分布，这有助于我们进行假设检验和置信区间的计算。

以上就是线性回归的基本概念和应用。如果您有任何疑问或需要进一步了解的内容，请随时提问！